вівторок, 18 жовтня 2016 р.

5 клас

Конспект уроку з математики в 5 класі

Тема уроку: Порівняння десяткових дробів

Мета уроку: Закріпити знання учнів з теми «Порівняння десяткових дробів», вдосконалювати навички розв’язування вправ з даної теми;

розвивати логічне і творче мислення учнів, а також розвивати інтерес до вивчення математики;

виховувати любов до свого села, повагу до його історичного минулого .

Тип уроку: Урок формування вмінь і навичок.

Обладнання: Кольорова крейда (червона), картки для математичного лото, плакат до задачі.

Хід уроку

І. Організація класу.

II. Актуалізація опорних знань.

Гра «Знайди помилку» (завдання на дошці).

1) 2,12 > 0,369 2) 42,5 < 42,500

3) 5,3 < 5,24 4) 12,7 < 12,72

5) 3,15 = 31,5 6) 6,788 < 6,8

7) 13,824 = 13,842 8) 0,364 = 3 ,64

ІІI. Перевірка домашнього завдання.

Фронтальна перевірка д /з ( № № 796, 798, 800 ).

Математичний диктант.

І варіант ІІ варіант

1. Порівняй числа:

2,3 і 2,13 6,5 9 і 6,7

0,7 і 0,700 2.80 0 і 2,8

5,122 і 5,22 3,448 і 3,6

7,21 і 6,89 6, 32 і 5,94

2. Розмісти у порядку спадання числа:

4,17; 5,2 ; 4,8 ; 4,82; 4; 5,0227 . 5,8; 5,124; 5,08; 6,4; 6,155; 6.

Відповіді до математичного диктанту:

І варіант ІІ варіант

1. Порівняй числа:

2,3 > 2,13 6,5 9 < 6,7

0,7 = 0,70 0 2.80 0 = 2,8

5,122 < 5,2 3,448 < 3,6

7,21 > 6,89 6, 32 > 5,94

2. Розмісти у порядку спадання числа:

5,2; 5,0227; 4,82; 4,8; 4,17; 4

6,4; 6,155; 6; 5,8; 5,124; 5,08

Один учень читає відповіді, а решта обмінюються зошитами і перевіряють диктант.

Максимальний бал за диктант - 6.

ІV. Оголошення теми і завдань уроку.

Сьогодні на уроці ми продовжимо вивчати тему: « Порівняння десяткових дробів», розв’язувати задачі і вправи на порівняння дробів. А також сьогодні ми пригадаємо деякі події з історії нашого села, так як наша школа і, зокрема, наш клас працює над проектом «Історичне краєзнавство».

(Тема уроку записана на дошці)

V. Розв’язування задач і вправ.

а) Робота з підручником.

№ 801

Між якими сусідніми натуральними числами знаходиться дріб:

1) 6,99; 2) 1,529;

6 < 6,99 < 7; 1 < 1,529 < 2.

№803

Які цифри можна підставити замість *, щоб утворилась правильна нерівність?

1) 6,38 < 6,3*; 2) 8,1 > 8,*9; 3) 0,0*3>0,064

6,38 < 6,39 . 8,1 > 8,09. 0,074 > 0,064;

0,084 >0,064;

0,094 > 0,064.

№809.

Виразіть величини в однакових одиницях вимірювання і порівняйте їх:

1) 1,36 кг і 589,6 г; 4) 92,6см і 9,24 дм;

1,36 кг > 0,5896к г; 9,26см > 9,24 дм;

2) 2396,4г і 2,278кг; 5) 31,6 кг і 0,432 ц; 2,3964кг > 2,278кг; 0,316 кг < 0,432 ц;

3) 28,4 мм і 2,84 см; 6) 85,2 ц і 8,09 т;

2,84 мм = 2,84 см; 8,52 ц > 8,09 т.

б) Робота в парах.

« Математичне лото»

1.Розмістити в порядку зростання числа:

6, 06; 6,16; 6,0066; 66,0; 6,6; 0,6666.

Відповідь: 0,6666; 6,0066; 6,06; 6,16; 6,6; 66,0.

Ключове слово : Пархач.

2. Розмістити в порядку зростання числа:

3,03; 3,0033; 0,33; 3,3; 0,0333; 33,03.

Відповідь: 0,0333; 0,33; 3, 0033; 3, 03; 3,3; 33,0.

Ключове слово : Войтюк.

3. Розмістити в порядку зростання числа:

12,2; 12,0022; 2,2; 2,0022; 22,1; 2,22; 12,02.

Відповідь: 2,0022; 2,2; 2,22; 12,0022; 12,02; 12,2; 22,1.

Ключове слово : Чернига .

Діти, про говорять вам ці ключові слова?

Повідомлення учнів з історії с.Межиріччя:

Пархач - Так споконвіку протягом багатьох століть називалось наше село. Існують різні твердження відносно цієї назви. А засноване село було ще в VI-VIIIстолітті. Тодішні мешканці села обробляли землю, займались скотарством та рибальством і сплавом лісу.

Чернига. Отець Мар’ян Чернига - греко-католицький священик, який з 1959 року обслуговував с. Межиріччя. В цей час греко-католицька церква була заборонена в державі, тому отець Мар’ян - це справжній герой, який став на захист Божого слова і інтересів сільських прихожан.

Войтюк. Семен Войтюк був директором школи і диригентом церковного хору в 30-х роках минулого століття.

А зараз ми розв’ яжемо задачу, яку перед нами поставив голова Межирічанської сільської ради народних депутатів:

В 2009 році сільська рада виділила на газифікацію села:

в липні - 3,223 тис. грн.

в серпні – 15,543 тис. грн.

в вересні - 7,493 тис. грн.

в жовтні - 33,091 тис. грн.

в листопаді – 23,703тис. грн.

в грудні - 0 тис. грн.

В якому місяці ця сума була найбільшою?

Розмістити числа в порядку зростання

(грудень, липень, вересень, серпень, листопад, жовтень)

Задачі від Мудрої Сови:

№ 815

У пачці було 1000 конвертів. Скільки часу потрібно листоноші , щоб відкласти 850 конвертів, якщо за 1 хв він відраховує 100 конвертів?

Відповідь: півтори хвилини.

Діти читають задачу і усно пояснюють її розв’язання.

Задача № 2: Який знак треба поставити між числами 6 і 7, щоб утворене число було більше за 6, але менше за 7 ?

Відповідь: Риску дробу, або кому, тому що 6 < 6/7 < 7 i 6 < 6,7 <7

Задача від Незнайка :

Розклад роботи на добу

1 / 6 частина доби - читання книг

3 / 8 частини доби - здійснення добрих справ

1 / 12 доби - прийом їжі

1 / 8 доби - заняття спортом

8 годин - сон

-Діти, чи подобається вам цей план?

-Як ви гадаєте, чи виконає його Незнайко?

Усно розв’язуємо задачу (які записи необхідні - записую на дошці)

1 / 6 частина доби - 24:4=4

3 / 8 частина доби - 24:8х3=9

1 / 12 доби - 24:12=2

1 / 8 доби - 3

8 годин 8

Всього: 26 годин

Висновок: Незнайко не зможе виконати свій план, тому що доба має 24 години.

А зараз, діти, я вам розкажу казочку про принцесу Кому, яка жила в казковій Країні Слів і Речень.

Казка про Принцесу Кому.

Було це дуже давно… В одній казковій країні жила собі красуня-принцеса, яку називали Комою. Маму принцеси звали - Королева Мова, а тата - Король Правопис. Тато - король дуже любив, щоб всюди був порядок, тому у принцеси було багато роботи. Вона повинна була слідкувати за місцем слів у реченні і часто ставала між ними, щоб не виникало непорозумінь. Але принцесі Комі набридло виконувати кожен день одну і ту ж роботу, тому вона втекла з дому. По дорозі вона зустріла Принца на коні, який жив у сусідній країні. Принца цього звали - Чисельник, а його коня …

Продовжте, будь ласка, казочку.

Метод « Мікрофон».

Діти по черзі продовжують казочку.

Діти, як ви думаєте, чи можуть в країні Математики обійтись без коми?

А чи можуть в країні Слів і Речень обійтись без коми?

Чи вернулась наша Принцеса Кома додому до своїх батьків?

А чи знаєте ви, хто перший запропонував використовувати кому для запису десяткових дробів?

(Кому запропонував ставити німецький астроном Йоган Кеплер у ХVII столітті).

VІ. Підсумок уроку.

- Яку тему ми вивчали сьогодні на уроці ?

- Як порівняти два десяткові дроби, в яких різна ціла частина?

- Як порівняти два десяткові дроби, в яких ціла частина однакова?

- Чим сподобався вам урок?

- Що нового з історії села ви довідались?

VIІ. Завдання додому.

Повт. п.28, розв. №№ 802, 804, 810; Скласти і записати казку про Кому.

Відомі математики світу

Евклід

(365-300 до. н. е.)

Про Евкліда майже нічого невідомо, звідки він був родом, де і в кого вчився. Значно більше ми знаємо про математичну творчість Евкліда. Перш за все, Евклід є для нас автором "Начал", по яких учились математики всього світу. Ця надзвичайна книга пережила більше двох тисячоліть, але й до цього часу не втратила свого значення не тільки в історії науки, але й у самій математиці. Зміст "Начал" далеко не вичерпується елементарною геометрією - це основи всієї античної математики. Тут підводиться підсумок більш ніж 300-річному її розвитку і разом з тим створюється база для її подальшого розвитку. На геометрії Евкліда базується класична механіка, її апофеозом була поява в 1687 р. "Математичних начал натуральної філософії" Ньютона, де закони земної і небесної механіки і фізики встановлюються в абсолютному евклідовому просторі.
Біографічних відомостей про ал-Хорезмі майже не збереглося. Батьківщиною вченого був Хорезм (нині це частина території Узбекистану та Туркменистану). Світове визнання ал-Хорезмі принесли його два знамениті математичні трактати - арифметичний і алгебраїчний: "Книга про індійський рахунок" і "Коротка книга про числення алгебри і алмукабали". "Книга про індійський рахунок" стала основним джерелом розповсюдження десяткової позиційної системи числення та запису чисел. Ця система витіснила менш досконалі, що існували до того - алфавітну систему числення греків, громіздку римську нумерацію та інші.
Рене Декарт більше відомий, як великий філософ, ніж математик. Але саме він був піонером сучасної математики, його досягнення в цій галузі настільки видатні, що він по праву входить до числа великих математиків. Декарта разом з його співвітчизником П.Ферма вважають основоположником аналітичної геометрії. Він ввів метод прямолінійних координат, зручну алгебраїчну символіку, що збереглася до наших днів, дав поняття змінної величини і функції. Висловив закон збереження кількості руху, ввів поняття імпульсу сили. Праці Декарта рішуче вплинули на розвиток математики.

Архімед

(близько 287 до н.е. - 212 до н.е., Сіракузи)

Він запропонував також наближений метод обчислення квадратних коренів, сформулював основні положення гідростатики, створив низку машин і споруд. В рік падіння Сіракуз Архімед загинув від руки римського солдата. Архімед - давньогрецький математик, фізик та інженер, один з найвидатніших вчених античності. Він винайшов загальні методи обчислення площі криволінійних плоских фігур і об'ємів тіл, обмежених кривими поверхнями, і застосував ці методи до багатьох частинних випадків: до кола, сфери, довільного сегменту параболи, фігури, що розташована поміж двома радіусами і двома послідовними витками спіралі, до сегментів сфер, сегментів фігур, утворених обертанням прямокутників (циліндри), трикутників (конуси), парабол (параболоїди), гіпербол (гіперболоїди) і еліпсів (еліпсоїди) відносно їх головних осей. Він дав метод обчислення числа пі і встановив, що це число знаходиться між 3 1/7 і 3 10/71.

Мухаммад ібн Муса Ал-Хорезмі

(прибл. 783-850)

Ще більший успіх випав на долю алгебраїчного трактату " Коротка книга про числення алгебри і алмукабали". Трактат поклав початок самостійному розвитку алгебри. У ньому вперше алгебра була представлена як наука про загальні методи розв'язування числових лінійних і квадратних рівнянь.

Рене Декарт

(1596 - 1650)

П'єр Ферма

(1601-1665)

Видатний французький математик, один із основоположників аналітичної еометрії і теорії чисел, автор робіт в області теорії ймовірностей, оптики, численні нескінченно-малих величин. У 1637 році він сформулював так звану Велику теорему Ферма, яка була доведена американським математиком Ендрю Уайлсом лише у 1995 році. Теорем а стверджує, що для будь-якого натурального n>2 i xyz<>0 рівняння хn+уn=zn не можна розв’язати в цілих (і раціональних) числах.

Блез Паскаль(1623-1662)

Видатний французький математик, фізик, літератор і філософ. Класик французької літератури, один із засновників математичного аналізу, теорії ймовірностей і проективної геометрії, автор основного закону гідростатики. Ще в 1642 році Паскаль сконструював механічну обчислювальну машину для двох арифметичних дій. Принципи, які лягли в основу цієї машини, стали пізніше вихідними в конструюванні обчислювальних машин.

Ісаак Ньютон
(1643-1727)

Ісаак Ньютон встиг за своє життя зробити так багато, що і частка його відкриттів могла зробити його ім'я безсмертним.
У галузі математики він завершив пошук і вдосконалення методів розв'язування знаменитих задач обчислення площ і об'ємів криволінійних фігур, проведення дотичних до кривих ліній у заданій точці. Вони охоплюють основи сучасного інтегрального і диференціального числення, або класичної вищої математики. Створення Ньютоном і Лейбніцом незалежно один від одного аналізу нескінченно малих відкрило нову епоху розвитку математики і всього математичного природознавства.
Вклад Ньютона в математику не вичерпується створенням диференціального і інтегрального числення. Його праці зіграли також важливу роль в розвитку алгебри, аналітичної та проективної геометрії, вчення про числа.

Ґотфрід Вільгельм Лейбніц
(1646-1716)

Видатний німецький філософ, логік, математик, фізик, мовознавець та дипломат. Передбачив принципи сучасної комбінаторики. Створив першу механічну лічильну машину, здатну виконувати додавання, віднімання, множення й ділення. Незалежно від Ньютона створив диференціальне й інтегральне числення і заклав основи двійкової системи числення. У рукописах і листуванні, які було надруковано лише в середині 19 ст., розробив основи теорії детермінантів. Зробив вагомий внесок у логіку і філософію. Мав надзвичайно широке коло наукових кореспондентів, багато з ідей викладено в рукописах і листуванні, що ще й досі повністю не надруковано.

Леонард Ейлер
(1707-1783)

Леонард Ейлер - найпродуктивніший математик в історії. Він писав свої наукові праці легко й невимушено, як досвідчений літератор пише листи друзям. За час своєї наукової діяльності вчений написав понад 880 праць, у тому числі ряд багатотомних монографій.
Ейлер створив варіаційне числення, надав сучасну форму інтегральному численню, викладенню тригонометрії та арифметики, зробив вагомий внесок у дослідження теорії ймовірностей та її застосувань. Його праці виділили теорію диференціальних рівнянь в окрему дисципліну. Він був, по суті, засновником теоретичної фізики, механіки твердих тіл, гідродинаміки, гідравліки. Багато праць вчений присвятив геометрії, теорії чисел. Важко навіть перечислити всі галузі науки, в яких трудився учений.
Мабуть, немає іншого вченого, чиє ім'я згадувалося б так часто в навчальній літературі, як ім'я Ейлера. У середній школі логарифми та тригонометрію вивчають до цього часу "за Ейлером".

Карл Фрідріх Гаус
(1777-1855)

З іменем Гауса пов'язані фундаментальні дослідження майже в усіх основних галузях математики: алгебрі, диференціальній і неевклідовій геометрії, теорії чисел, в математичному аналізі, теорії функцій комплексного змінного, теорії ймовірностей, а також в астрономії, геодезії і механіці. Гаус багато зробив для теорії спеціальних функцій, рядів, чисельних методів, розв'язання задач математичної фізики. Створив математичну теорію потенціалу.
В кожній галузі математики глибина проникнення в матеріал, сміливість думки і значимість результату були вражаючими. Гауса називали "королем математиків".
Гаус любив говорити, що математика - цариця наук, а теорія чисел - цариця математики.

Еварист Галуа
(1811-1832)

За 20 років життя французький математик Еварист Галуа встиг зробити відкриття, що поставило його на рівень найвидатніших математиків ХІХ століття. Розв'язуючи задачі з теорії алгебраїчних рівнянь, він заклав основи сучасної алгебри, вийшов на такі фундаментальні поняття, як група (Галуа першим використав цей термін, активно вивчаючи симетричні групи) і поле (скінченні поля носять назву полів Галуа).
Відкриття Галуа справили величезне враження і поклали початок новому напрямку математики - теорії абстрактних алгебраїчних структур.

Микола Іванович Лобачевський
(1792-1856)

В історію математики М. І. Лобачевський увійшов як перший учений, який виступив з принципово новою теорією геометрії. Тим самим, він завоював собі почесне звання "Копернік геометрії". М.І. Лобачевський зробив сміливий висновок про те, що можлива геометрія, яка грунтується на запереченні аксіоми паралельності Евкліда. Усе життя він присвятив створенню цієї "уявної геометрії", яка зараз називається геометрією Лобачевського. У цій геометрії до даної прямої через дану точку можна провести нескінченно багато прямих, їй паралельних. Це була справжня революція в науці. "Легше було зупинити Сонце, легше було зрушити Землю, ніж звести паралелі до сходження" (В.Ф.Каган)
Крім геніальних робіт з геометрії вченому належить ряд важливих праць з алгебри та аналізу. Він запропонував точне визначення функції, довів одну з ознак збіжності рядів, установив відмінність між неперервністю та диференційовністю функції..

Софія Василівна Ковалевська
(1850-1891)

"В історії людства до Ковалевської не було жінок, рівних їй за силою і своєріднісю математичного таланту" (С.В.Вавілов).
Визначний російський математик, письменниця і публіцист. Професор Стокгольмського університету. Авторка праць з математичного аналізу (диференціальні рівняння і аналітичні функції), механіки і астрономії. Перша жінка, яку обрано членом-кореспондентом Петербурзької Академії Наук.

Жюль Анрі Пуанкаре
(1854-1912)

Видатний французький математик, фізик, філософ і теоретик науки. Пуанкаре називають одним із найбільших математиків всіх часів, а також одним із останніх математиків-універсалів, людиною, здатною охватити всі математичні результати свого часу. За тридцять з лишнiм рокiв напруженої творчої дiяльностi Пуанкаре залишив величнi працi практично у всiх областях математичної науки. Фундаментальнiсть та розмаїття пошукiв зробили його загальновизнаним лiдером цiєї науки в очах сучасникiв.

Давид Гільберт
(1862-1943)

Математик-універсал, ім'я якого зустрічається майже в усіх розділах сучасної математики. В 1900 р. на Всесвітньому математичному конгресі (Париж) Гільберт сформулював 23 важливі математичні проблеми, вирішення яких, на його думку, сприяло б подальшому розвитку математики. "Ми, математики, часто оцінюємо свої успіхи міркою того, які з Гільбертових проблем пощастило досі розв'язати",- сказав відомий математик Г. Вейль.
На сьогоднішній день розв'язано 21 проблему із його списку, тобто математикам XXI століття належить завершити почате і відкрити перед собою нові горизонти.

Норберт Вінер
(1894 -1964)

Видатний американський математик і філософ, "батько кібернетики". Найбільш відомі праці в галузі математики по теорії ймовірностей та математичному аналізу. Під час другої світової війни Вінер займався електричними мережами та обчислювальною технікою. В 1945-47 роках працював з мексиканським ученим Розенблютом в Національному кардіологічному інституті в Мехіко. Вивчення аналогій між процесами, що протікають в електричних і електронних системах і в живих організмах привело Вінера до ідеї створення нової науки - кібернетики, яку він уявляв як єдину науку про керування. Видана в 1948 році праця Вінера "Кібернетика: керування і комунікація в тварині і в машині." справила великий вплив на розвиток світової науки. 1948 рік вважається роком народження кібернетики як науки.

Андрій Миколайович Колмогоров
(1903 - 1987)

Видатний радянський математик, доктор фізико-математичних наук, професор Московського державного університету (1931), академік Академії Наук СРСР (1939). Отримав міжнародне визнання - був почесним членом багатьох іноземних академій і наукових товариств.
Колмогоров - один із основоположників сучасної теорії ймовірностей, ним отримані фундаментальні результати в топології, математичній логіці, теорії турбулентності, теорії складності алгоритмів і цілому ряді інших областей математики і її застосувань.
А.М.Колмогорова по праву вважають одним з найвидатніших учених ХХ століття.

Історія математики

Історія математики (матеріал з Вікіпедії)

Істо́рія матема́тики — це галузь знань, що займається дослідженням походження та розвитку математичних відкриттів та методів, а також математичних праць минулого.

Слово «математика» походить від грец. μάθημα (мàтема), що означає «пізнання» чи «вивчення»; математик, грец. μαθηματικός(математикóс), — «людина, охоплена жадобою пізнання». Математика первісно виникла як один із напрямків пошуку істини (у грецькій філософії) у сфері просторових відношень (землеміряння — геометрії) та обчислень (арифметики), для практичних потреб людини рахувати, обчислювати, вимірювати, досліджувати форми та рух фізичних тіл. Нині цей термін позначає цілком визначену область знань, пов'язану із дослідженням задач про кількість, просторові форми, процеси розвитку та формальні структури, в основі якого лежать точні означення та строгі дедуктивні методи.

Історію математики можна поділити на чотири періоди.
У перший період (приблизно 6-5 ст. до н. е.) сформувалося поняття цілого числа, раціонального дробу, відстані, площі, об'єму, були створені правила дій з числами, найпростіші правила визначення площ фігур та об'ємів тіл. Так накопичився матеріал, що склався в арифметику. Вимірювання площ і об'ємів сприяло розвиткові геометрії. На базі створення методів арифметичних обчислень виникла алгебра, а в зв'язку із запитами астрономії — тригонометрія. Однак у цей період математика ще не була дедуктивною наукою, вона складалася переважно з прикладів на розв'язування окремих задач, іноді являла собою збірку правил для їх розв'язування.
У другий період (до середини XVII ст.) математика стає самостійною наукою зі своєрідним, чітко вираженим методом і системою основних понять. В Індії було створено десяткову систему числення, в Китаї — метод розв'язування лінійних рівнянь з двома і трьома невідомими; створена стародавніми греками система викладу елементарної геометрії стала зразком дедуктивної побудови математичної теорії на багато століть вперед. У цей період з арифметики поступово виділяється теорія чисел. Велике значення мали праці Піфагора Самоського, Гіппократа Хіоського, Евдокса Кнідського, Евкліда, Архімеда, Діофанта. У Київській Русі математична освіта була на рівні найкультурніших країн Європи того часу.
Третій період (до початку ХХ ст.), в який було створено математику змінних величин, — суттєво новий період у розвитку математики.
Четвертий — сучасний період — характеризується систематичним вивченням можливих типів кількісних відношень і просторових форм.

Математика у первісному суспільстві

Уже в найперших писемних знахідках є докази, які свідчать про математичні знання їх авторів, що використовувались для вимірювання часу на основі спостереження за небесними світилами. Доісторичні артефакти, виявлені в Африці та Франції, вказують на здійснення перших спроб квантифікації часу. Існує припущення, що відліком часу займалися жінки, які реєстрували місячні цикли або фази місяця. Паралельно розвивалися уявлення про число: вірогідно, спостерігаючи за групами (стадами) тварин, люди почали розрізняти поняття «один», «два» та «багато». Саме такі кількісні уявлення донині збереглися у зулусів, африканських пігмеїв та ще ряду племен — австралійських, бразильських тощо. Пізніше числа об'єднувалися у групи, утворюючи більші одиниці лічби; зазвичай використовували пальці однієї чи обох рук, або ж рук і ніг, що давало лічбу з основою 5, 10 або 20. Записи велися позначенням одиниць, зарубками, камінцями тощо.

Математика найдавніших цивілізацій

Найдавніші відомості про використання математики — господарські задачі в Стародавньому Єгипті (Папірус Рінда, Московський папірус, Шкіряний сувій єгипетської математики) та Вавилонії (Математичні тексти Суз). Вона використовувалася для календарних обрахунків, розподілу врожаю, організації суспільних робіт, збирання податків.

Вавилонське царство

Про вавилонську цивілізацію, на щастя, нам відомо досить багато. Все це завдяки глиняним табличкам, які були покриті клинописними текстами, вік яких датується приблизно від 2000 років до н. е. та аж до III століття до н. е. Математика знайдених клинописних табличок в основному торкалася тільки моментів, пов'язаних із веденням господарства. Також проста арифметика і алгебра застосовувалися для оплати товарів, обчислення простих або складних відсотків. З часом, коли почали будувати канали, зерносховища та інші складні споруди, арифметичні і геометричні задачі стали складнішими. Математика також знадобилася для ведення обліку громадських робіт, яких у той час було чимало. Вкрай важливу роль математика зіграла у розрахунках календаря. Адже саме за календарем визначалися час сівби та збору врожаю, а також всі релігійні свята. Саме вавилонська астрономія поклала початок поділу кола на 360 градусів, а градуса та хвилини на секунди. Вавилонянам належить одна з перших систем числення. Для цього вони використовували числа від 1 до 59, основою яких була 10-ка. Символ, що позначав одиницю, вавилоняни повторювали необхідну кількість разів для чисел від 1 до 9. Подальші позначення, тобто, від 11 до 59, позначалися комбінацією символу числа 10, а також символу одиниці. Для чисел, починаючи з 60 і більше, була введена позиційна система числення, підставою якої стало число 60. Суттєвим проривом у вавилонській математиці став позиційний принцип. Тобто, один і той же числовий знак або символ знаходив різні значення в залежності від місця його розташування. Прикладом може послугувати значення 6 у нинішньому записі числа 606. Однак у вавилонян нуль був відсутній, саме тому і набір символів міг означати наступне: 65 — це 60+5, і 3605 — це 602+0+5. Виникала неоднозначність зі сприйняттям дробів, так як одні й ті ж символи могли трактуватися і як число, і як дріб. Але ця проблема вирішувалася досить просто — все залежало від конкретного контексту.

Єгипет

Наше розуміння староєгипетської математики ґрунтується в основному на двох папірусах, що датуються приблизно 1700 роком до н. е. Однак ті математичні відомості, які містять ці папіруси, відносяться до зовсім раннього періоду, приблизно 3500 років до н. е. Єгиптяни відмінно орієнтувалися на той момент в математиці. Вони використовували її для обчислення маси тіл, площ посівів, об'ємів зерносховищ, розмірів податків, кількості каменів, які призначалися для будівництва різних споруд. У папірусах знайшлася і згадка про завдання з визначенням кількості зерна для приготування необхідного числа кухлів пива і навіть більш складних, де для приготування пива використовувалися одночасно кілька сортів зерна. Однак, незважаючи на всі ці факти, рівень астрономії в Стародавньому Єгипті все ж істотно поступався ступеню її розвитку у Вавилонському царстві. Вся давньоєгипетська писемність була заснована на ієрогліфах. Причому, система числення, так само, як і астрономія, сильно поступалася вавилонській системі. Єгиптяни використовували тільки непозиційну десяткову систему, де числа від одного до дев'яти позначалися за допомогою вертикальних паличок відповідним числом. Що стосується послідовних ступенів числа десять, то тут вже використовувалися індивідуальні символи. У єгиптян геометрія в основному зводилася до обчислень площ кола, трикутників, прямокутників, трапецій і до формул об'ємів певних тіл. Варто також відзначити, що, незважаючи на всю велич єгипетських пірамід, для їх будівництва єгиптяни використовували вкрай просту і примітивну математику.

Антична Греція

Муза геометрії (Лувр)

Піфагорійська школа

Математика як теорія отримала розвиток у школі Піфагора (571—479 рр. до н. е.). Головним досягненням піфагорійців в області науки є істотний розвиток математики як за змістом, так і за формою. За змістом — відкриття нових математичних фактів. За формою — побудова геометрії і арифметики як теоретичних, доказових наук, що вивчають властивості абстрактних понять про числа і геометричні форми. Дедуктивна побудова геометрії стала потужним стимулом її подальшого розвитку. Піфагорійці розвинули і обґрунтували планіметрію прямолінійних фігур — вчення про паралельні лінії, трикутники, чотирикутники, правильні багатокутники. Отримала розвиток елементарна теорія кола. Наявність у піфагорійців вчення про паралельні лінії вказує на те, що вони володіли методом доведення від супротивного і вперше довели теорему про суму кутів трикутника. Вершиною досягнень піфагорійців в планіметрії є доказ теореми Піфагора. Остання на багато століть раніше була сформульована вавилонськими, китайськими та індійськими вченими, однак її доказ їм не був відомий. Успіхи піфагорійців у стереометрії були значними. Вони займалися вивченням властивостей кулі, відкрили побудову чотирьох правильних многокутників — тетраедра, куба, октаедра і додекаедра (ікосаедр досліджував згодом Геетет). Однак вони не змогли обґрунтувати твердження, що відносяться до об'ємів тіл (піраміди, конуса, циліндра і кулі), хоча, звичайно, ці твердження були встановлені емпірично на багато століть раніше. В галузі арифметики піфагорійці вивчали властивості парних і непарних, простих і складених натуральних чисел, шукали досконалі числа, тобто такі, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників (наприклад, 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14). Піфагорійці знали також дробові числа і в зв'язку з цим розробили теорію арифметичної та геометричної пропорцій. Вони володіли поняттями середнього арифметичного, середнього геометричного і середнього гармонійного.

Поворотний пункт в історії античної математики

Якими б великими не були досягнення піфагорійців у розвитку змісту та систематизації геометрії і арифметики, однак всі вони не можуть зрівнятися зі зробленим ними ж відкриттям несумірних величин. Це відкриття стало поворотним пунктом в історії античної математики. З приводу цього відкриття Аристотель говорив, що Піфагор показав, що якщо б діагональ квадрата була б порівнянна з його стороною, то парне дорівнювало б непарному. Це зауваження Арістотеля показує, що при доведенні несумірності діагоналі квадрата з його стороною Піфагор використовував метод від супротивного. Наприкінці V століття до н. е. Феодор із Кірени встановив, що несумірність діагоналі квадрата з його стороною не є винятком. Він показав, що сторони квадратів, площі яких дорівнюють 3, 5, 6, …, 17 несумірні зі стороною одиничного квадрата. Піфагор вчив, що сутність усіх речей є число; число — самі речі; гармонія чисел — гармонія самих речей. Це природно: до відкриття Піфагора давньогрецькі математики вважали, що будь-які два відрізки мають спільну міру, хоча, може бути, і дуже малу. Піфагорійці знали тільки додатні цілі і дробові числа. Дотримуючись своєї філософської установки, вони, по суті справи, вважали, що кожна річ може бути охарактеризована позитивним цілим або дробовим числом, яке «виражає сутність» цієї речі. Насправді це означало, що геометрія будувалася на базі арифметики. Після виявлення існування несумірних величин перед піфагорійцями відкрилися дві можливості. Можна було спробувати розширити поняття числа за рахунок приєднання до раціональних чисел ірраціональних чисел, охарактеризувати несумірні величини числами іншої природи і таким чином відновити силу філософського принципу «все є число». Однак цей шлях, настільки природний і простий з сучасної точки зору, для піфагорійців був закритий. В цьому випадку треба було побудувати досить точну арифметичну теорію дійсних чисел, що при рівні піфагорійської математики було справою нереальною. Тому треба було йти іншим шляхом — шляхом певного перегляду вихідних принципів, наприклад, прийняти, що геометричні об'єкти є величинами більш загальної природи, ніж дробові і цілі числа, і намагатися будувати всю математику не на арифметичній, а на геометричній основі. Саме цей другий шлях і обрали піфагорійці, а слідом за ними більшість давньогрецьких математиків, аж до Архімеда і Аполлонія.

Період Академії

Період цілком самостійної діяльності греків в області математики починається з діяльності Платона і заснованої ним у 389 р. Філософської школи, відомої під ім'ям Академія. З цього часу подальший розвиток, якщо не всієї математики взагалі, то, безсумнівно, геометрії, зосереджується виключно в руках однієї грецької нації, яка й веде його, поки знаходить у своєму розпорядженні необхідні засоби. Головним результатом математичної діяльності самого Платона було створення філософії математики і, зокрема, її методології. Як відомо, його власні роботи дуже мало стосувалися збільшення математичних знань у кількісному відношенні і були спрямовані на встановлення точних визначень основних понять геометрії, на виявлення і відведення справжнього місця її основних положень, на приведення надбаних раніше математичних знань в суворий логічний зв'язок як між собою, так і з основними поняттями та положеннями, і нарешті, на приведення в повну ясність і вивчення методів відкриття та докази нових істин, методів. Методів, розроблених Платоном, за свідченням Прокла, було три: аналітичний, синтетичний та апологічний. Викладені, на підставі пізніших досліджень предмета, більш повним і головне більш певним чином, ці визначення представляються в наступному вигляді. Аналітичний метод полягає в утворенні ланцюга пропозицій, з яких кожне випливає з наступного за ним, як безпосередній наслідок. Синтетичний метод є частиною аналітичного і тому складається з ланцюгів пропозицій, з яких перше є доведена істина, а кожне з наступних є наслідком того, що йому передує. Про апологічний метод, або метод приведення до безглуздості, Евклід не говорить, але досить чітке його визначення поряд з нечіткими визначеннями аналізу і синтезу дає Прокл, при своєму приписуванні їх Платону; «Третій (апологічний) метод, — говорить він, — є приведення до неможливого, яке не доводить прямо того, що шукається, а спростовує те, що йому суперечить, і таким чином через зв'язок того й іншого знаходить істину». Вчені математики, що належали до Академії розпадалися на дві групи: на вчених, які отримали свою математичну освіту незалежно від Академії і перебували тільки в більш або менш тісних зносинах з нею, і на колишніх учнів Академії. До перших належали Теэтет Афінський, Леодам Фасосский, Архіт Тарентським і пізніше Евдокс Кнідський; до числа других — Неоклид, Леон, Амикл з Гераклеї, брати Менехм і Динострат, і під час старості Платона — Теюдий з Магнезії, Кизикен Афінський, Гермотим Колофонский, Філіп Мендейский і Філіп Опунтский.

Індія та Арабський Халіфат

Після греків за математику активно взялися індійці. Індійські математики ніколи не займалися різними доказами, однак саме вони ввели низку оригінальних понять і високоефективних методів. Завдяки їм було введено нуль, причому відразу ж, як число, так і як символ відсутності одиниць у розряді. Махавіра (приблизно 850 р. н. е.) винайшов ряд операцій, пов'язаних з нулем. Так, він встановив, що поділ будь-якого числа на нуль залишає число незміненим. Вже трохи пізніше Бхаксарой (приблизно 1114 н.е) дав правильну відповідь ділення числа на нуль, причому йому приписані і правила дій з ірраціональними числами. Саме індійці ввели у вжиток від'ємні числа. Таким чином, вони записували борги. Слово «алгебра» походить від назви книги «АЛЬ-джебр Ва-л-мукабала» («Заміщення та протиставлення»), яка була написана в 830 році н. е., а введено повсюдно математиком Аль-Хорезмі. Аль-Хорезмі у своїх творах віддавав належне досягненням індійської математики. Алгебра Аль-Хорезмі ґрунтувалася на навчаннях Брахмагупти, проте в ній явно проглядалися вавилонський і грецький впливи. Видатний арабський математик Ібн Аль-Хайсам (приблизно 965—1039 рр. н. е.) зумів розробити метод отримання алгебраїчних рішень кубічних, а також квадратних рівнянь. Арабські математики, включаючи і Омар Хайяма, вже тоді вміли вирішувати кубічні рівняння за допомогою геометричних методів. У тригонометрію арабськими астрономами були введені поняття тангенса і котангенса. Мабуть, найголовнішим внеском арабів у математику є їх чудові переклади, а також коментарі до найвидатніших творінь греків. Європа змогла оцінити всі ці роботи тільки після того, як Арабський Халіфат завоював Північну Африку та Іспанію. А вже трохи пізніше праці греків повністю переклали на латину.

Див. також

Абак (рахівниця)

Середньовічна Європа

Незважаючи на всю свою велич, Римська цивілізація не змогла залишити жодного істотного сліду в математиці, бо вона була вже надто стурбована рішенням своїх практичних проблем. А ось цивілізація, яка склалася в Європі часів раннього Середньовіччя (приблизно 400—1100 рр. н. е.) не була настільки продуктивною через ряд причин. По-перше, усе інтелектуальне життя було сконцентровано тільки на теології. Тому рівень математичних знань не піднімався вище простої арифметики, а також найелементарніших розділів «Начала» Евкліда. Мабуть, найголовнішим розділом математики в Середньовіччя залишалася астрологія. В той час будь-якого астролога називали математиком. А оскільки вся медицина на той момент ґрунтувалася переважно на астрологічних показаннях і протипоказаннях, всім медикам довелося терміново стати математиками. Приблизно в 1100 році західноєвропейська математика приступила до освоєння збережених візантійськими греками і арабами спадщини Стародавнього світу Сходу. Це тривало близько трьох століть. А оскільки араби практично повністю володіли усіма працями давніх греків, Європа змогла отримати в своє розпорядження просто величезну кількість математичної літератури. Всі праці перекладалися на латину, що сприяло істотному зростанню знань і підйому математичних досліджень в досить короткі терміни. Практично всі вчені Європи визнавали, що своє натхнення вони черпали саме з праць греків. Одним з найперших європейських математиків, якого варто загадати, став Леонардо Пізанський або Фібоначчі. Завдяки його праці «Книга абака», виданій у 1202 році, європейці змогли познайомитися з індо-арабськими цифрами, а також методами обчислень. З неї вони дізналися і про алгебру. Однак протягом наступних кількох століть математична активність пішла на спад. Весь звід математичних досліджень і знань тієї епохи відбив Лука Пачолі у 1494 році. В його працях написано, що ніяких алгебраїчних нововведень відкрито або придумано не було, все це вже є у Леонардо.

Відродження

Одними з найвидатніших геометрів епохи Відродження, як не дивно, стали художники. Саме вони розвинули ідею перспективи. Поняття проекції і перерізу ввів художник Леон Баттіста Альберті (1404—1472 рр.). Всі прямі промені світла, що виходять від очей спостерігача до різних точок представленої сцени, утворюють проекцію. А перетин виходить шляхом проходження площини через проекцію. Тому для того, щоб картина, яку малює художник, в кінцевому результаті була максимально реалістичною, вона повинна виконувати закони проекції і бути саме таким перетином. Судження про проекції і перерізи одразу викликали ряд математичних питань. Завдяки ним і народилася проективна геометрія, а заснував її Ж. Дезарг (1593—1662 рр.). Він створив її за допомогою доказів, які ґрунтувалися на проекції, а також перерізі. Він уніфікував підхід до різних типів конічних перерізів, які видатний геометр з Греції — Аполлоній, розглядав завжди окремо. Розвиток сучасної математики XVI століття в Західній Європі став визначним у досягненнях алгебри та арифметики. Математики ввели в ужиток десяткові дроби, а також правила арифметичних дій з ними. Справжній фурор викликав Дж. Непер, який у 1614 році винайшов логарифми. Вже в кінці XVII століття склалося чітке розуміння логарифмів як показників ступенів з абсолютно будь-яким позитивним числом, але тільки не одиницею. У XVI столітті стали активно використовувати ірраціональні числа. Б. Паскаль (1623—1662 рр..), а також І. Барроу (1630—1677 рр.), який був вчителем І. Ньютона (1643—1727 рр.) і викладав у Кембриджському університеті, заявив, що число корінь з двох, можна трактувати виключно як геометричну величину і більше ніяк. Але в той же час Р. Декарт (1596—1650 рр.) і Дж. Валліс (1616—1703 рр.) стверджували наступне: ірраціональні числа припустимі і без посилань на геометрію, тобто самі по собі. Однак у XVI столітті відновилися суперечки з приводу законності від'ємних чисел, а також комплексних чисел (Декарт їх назвав «уявними»), які виникали при розв'язуванні квадратних рівнянь. Незважаючи на доказову базу, ці числа були під підозрою аж до XVIII століття, незважаючи на те, що Л. Ейлер (1707—1783) ними користувався. Комплексні числа остаточно були визнані тільки в XIX столітті, після того, як математики того часу повністю ознайомилися з їх геометричним представленням.

16-19 століття

У XVI столітті італійські математики С. Даль Ферро (1465—1526 рр.), Н. Тарталья (1499—1577 рр.) і Д. Кардано (1501—1576 рр.) змогли знайти спільні рішення рівнянь третього, а також четвертого ступеня. Щоб їх алгебраїчні міркування були зрозумілими, а записи стали більш точними, було прийнято рішення ввести багато відомих сьогодні символів, таких як: «+», «–», "=", «>», «<» та інших. Одним з найбільш яскравих нововведень стало систематичне застосування французьким математиком Ф. Вієтом (1540—1603 рр.) букв, які позначали невідомі, а також постійні величини. Це нововведення дозволило знайти Вієту єдиний метод рішення рівнянь другого, третього і четвертого ступенів. Після того, як усе було знайдено, математики пішли далі, тобто до рівнянь вище четвертого ступеня. Над цим наполегливо працювали Кардано, Ньютон і Декарт. Вони опублікували, щоправда, без будь-яких доказів, цілий ряд своїх результатів, що стосуються числа і виду коренів рівняння. І. Ньютон відкрив співвідношення між коренем і дискримінантом квадратного рівняння. Фрідріх Гаусс (1777—1855 рр.) в 1779 році довів так звану основну теорему алгебри, згідно з якою многочлен n-го ступеню має рівно n коренів. В алгебрі основне завдання полягає в наступному: знайти спільне рішення алгебраїчного рівняння. Це завдання продовжувало хвилювати математиків на початку XIX століття. Коли мова йде про спільне вирішення рівняння другого ступеня, мається на увазі наступне: кожен з двох коренів може бути виражений за допомогою кінцевого числа операцій додавання, віднімання, а також множення, ділення і добування коренів, здійснюваних над коефіцієнтами рівняння. Нільс Абель (молодий норвезький математик, 1802—1829 рр.) довів, що немає ніякої можливості отримати спільне рішення рівнянь вище четвертого ступеня за допомогою кінцевого числа алгебраїчних рішень. Але є багато рівнянь спеціального виду вище четвертого ступеня, які, в принципі, можуть допускати подібне рішення. Зовсім юний французький математик Е. Галуа (1811—1832 рр.) буквально напередодні своєї дуелі на якій і загинув, зміг дати заключну відповідь на питання: які саме рівняння можна відобразити через коефіцієнти за допомогою кінцевого числа алгебраїчних операцій. У його теорії застосовувалися підстановки коренів. Розвиток теорії груп — це хороший приклад того, що в математиці все ж присутні і творчі процеси. Галуа створив свою теорію на основі робіт Абеля. Сам же Абель брав за основу роботи Ж. Лагранжа (1736—1813 рр.). Насправді, дуже багато відомих математиків, включаючи і Гауса, і А. Лежандра (1752—1833 рр.) використовували в своїх працях поняття груп. У свій час Ньютон і заявив: «Якщо я і міг бачити набагато далі, ніж інші, все тільки тому, що я стояв на плечах гігантів».

Аналітична геометрія[

Аналітична (координатна) геометрія створювалася незалежно математиками П. Ферма (1601—1655 рр.) і Р. Декартом. Це було зроблено спеціально для розширення можливостей евклідової геометрії в задачах на побудову. Але Ферма оцінював свої роботи тільки як переформулювання творів Аполлонія. Справжнє відкриття — це усвідомлення всієї могутності алгебраїчних методів, яке належить все ж Декарту. Аналітична геометрія виникла саме тоді, коли Декарт приступив до розгляду невизначених задач на побудову шляхом рішень, де є не одна, а відразу безліч різних довжин. Аналітична геометрія застосовує алгебраїчні рівняння, щоб представити дослідження поверхонь і кривих. Декарт вважав, що певну криву можна записати за допомогою єдиного алгебраїчного рівняння відносно x і y. Даний підхід став важливим кроком вперед. Таким чином, у XVII—XVIII ст. ст. більшість головних відкриттів, приміром, циклоїда або ланцюгова лінія, швидко змогли увійти в побут вчених. Швидше за все, першим математиком, який використовував рівняння для доказів властивостей конічних перерізів, став Дж. Валліс (1616—1703 рр.). У 1865 році він алгебраїчним методом отримав всі необхідні йому результати, які були представлені в книзі «Начала» Евкліда. Саме аналітична геометрія змогла повністю обміняти ролями геометрію і алгебру. Видатний французький математик Лагранж сказав: «Алгебра і геометрія, рухаючись своїми шляхами, лише уповільнюють свій прогрес. Однак, як тільки ці науки об'єднуються, вони починають позичати одна у одної життєві сили і можливості, які змушують їх обох рухатися величезними кроками вперед до досконалості».

Математичний аналіз

Такі засновники сучасної науки, як Ньютон, Коперник, Галілей і Кеплер, підходили до вивчення природи так само, як і до математики. Досліджуючи, таким чином, рух, ці великі математики змогли виробити таке фундаментальне поняття, як відношення між змінними і функція. Таке завдання, як визначення миттєвих швидкостей зміни різних величин, цікавило практично всіх математиків XVII століття, у тому числі і Барроу, Декарта, Валліса, і Ферма. Вони запропонували різні ідеї і методи, які були об'єднані в систематичний універсальний формальний спосіб, що використовувався Ньютоном, а також Г. Лейбніцем (1646—1716 рр.), які, до речі, були творцями диференціального числення. Але в розробці даного обчислення, математики постійно вели гарячі суперечки, з'ясовуючи, кому ж все-таки належить головна заслуга, і Ньютон постійно звинувачував Лейбніца в чистому плагіаті. З плином часу дослідження підтвердили, що Лейбніц не займався плагіатом, а навпаки, створив незалежно від Ньютона математичний аналіз. Через незгоду сторін миритися з ситуацією, обмін знаннями між математиками Англії і континентальної Європи «заморозився» на довгі роки. Хочеться відзначити, що в цій ситуації найбільше постраждала англійська сторона. Математики з Англії так і продовжували аналізувати в геометричному напрямку, тоді як математики з континентальної Європи, включаючи таких гігантів думки, як Я. Бернуллі (1667—1748 рр.), Лагранжа і Ейлера, змогли досягти неймовірно високих результатів, дотримуючись аналітичного або алгебраїчного підходу.

Сучасна математика

Створення інтегрального, а також диференціального числення призвело до початку «вищої математики». На відміну від поняття границі, методи математичного аналізу, які лежали в основі, виглядали куди більш зрозумілими. Довгий час математики, в тому числі і Ньютон з Лейбніцем, безрезультатно намагалися дати точне визначення границі. Але, незважаючи на це і на чисельні сумніви у визначенні математичного аналізу, вони продовжували знаходити все більш широке застосування. Інтегральне, а також диференціальне числення придбали статус наріжних каменів в математичному аналізі, який згодом увібрав у себе і теорію диференціальних рівнянь, і диференціальну геометрію, і варіаційні обчислення, і багато іншого. І тільки в XIX столітті математикам все ж вдалося сформулювати чітке визначення границі.

Неевклідова геометрія

На початку XIX століття математика твердо стояла на двох «китах» — на евклідовій геометрії і на числовій системі. У зв'язку з тим, що більшість числових систем не могли доводитися без геометрії, евклідова геометрія стала однією з найбільш надійних частин всієї математики. Однак аксіома про паралельні, що розглядає ознаки паралельності прямих, містила ратифікацію про прямі, які простягалися в нескінченність, але це ніяк не підтверджувалося досвідом. Причому версія цієї аксіоми самого Евкліда також не стверджувала, що які-небудь прямі не зможуть перетнутися. Мабуть, у ній просто формулюється умова, за якої вони можуть перетнутися в якійсь кінцевій точці. Століттями видатні математики ретельно намагалися відшукати адекватну заміну аксіомі про паралельні прямі. Однак у кожному із запропонованих варіантів знаходилася тріщина. Всі почесті дісталися М. І. Лобачевскому (1792—1856 рр.), а також Я. Бойяі (1802—1860 рр.), бо саме вони створили неевклідову геометрію. Причому кожен з них опублікував своє оригінальне бачення окремо, незалежно один від одного. В їх працях зазначається, що через дану точку можна провести нескінченну кількість паралельних прямих, тоді як геометрія Б. Рімана (1826—1860 рр.) стверджувала, що через одну точку поза прямою провести якусь паралельну пряму неможливо. У той час про різні фізичні додатки, що стосуються неевклідової геометрії, ніхто з математиків серйозно не замислювався. І тільки після того, як А. Ейнштейн (1879—1955 рр.) створив свою теорію відносності (1915), науковий світ усвідомив всю реальність неевклідової геометрії. Неевклідова геометрія стала на той момент одним з найвидатніших звершень XIX століття. Вона наочно демонструвала, що математику ні в якому разі не можна тепер розглядати, як світ з незмінними правилами. Тепер кожен математик окремо мав право вводити які-небудь свої поняття, а також встановлювати аксіоми на свій розсуд, контролюючи лише те, щоб вони не суперечили одна одній.

Цікаві відео

вівторок, 18 жовтня 2016 р.